2013考研大纲数学二变化——高等数学部分

章节

2012大纲

2013大纲

变化情况及复习指南

一、 一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求

1． 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

2． 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5． 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限的关系。

6． 掌握极限的性质及四则运算法则。

7． 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9． 理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

考试内容

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求

1理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限的关系。

6掌握极限的性质及四则运算法则。

7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

无变化

重点复习：

极限的定义及性质、极限存在的两个准则、两个重要极限、各种类型函数极限的求法、无穷小量、函数间断点、连续函数的性质等

本章基础内容较多，复习要扎实、稳步进行，以保证后面各章节的顺利复习。

二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径

考试要求

1． 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2． 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3． 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4． 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5． 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。

6． 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8． 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a,b）内，设函数f(x)具有二阶导数，当时，f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

9． 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

考试内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径

考试要求

1理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。

6掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a,b）内，设函数f(x)具有二阶导数，当时，f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

9了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

无变化

重点复习：

导数的定义、函数可导性与连续性的关系、各类函数的求导法、微分中值定理、洛必达法则、函数性态等

三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，反常（广义）积分，定积分的应用

考试要求

1． 理解原函数的概念，理解不定积分与定积分的概念。

2． 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3． 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4． 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5． 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

6． 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平等截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，反常（广义）积分，定积分的应用

考试要求

1理解原函数的概念，理解不定积分与定积分的概念。

2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5了解反常积分的概念，会计算反常积分。

6掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平等截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

无变化

重点复习：

不定积分的概念和性质、基本积分公式、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法与分部积分法、反常积分、定积分的应用等

四、多元函数微积分学

考试内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值，二重积分的概念、基本性质和计算

考试要求

1． 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

2． 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

3． 了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

4． 了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用题。

5． 了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

考试内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值，二重积分的概念、基本性质和计算

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用题。

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

无变化

重点复习：

二元函数的极限与连续的概念和性质、多元函数的偏导数、多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值，二重积分的概念、基本性质和计算等

五、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，微分方程的简单应用

考试要求

1． 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2． 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。

3． 会用降阶法解下列形式的微分方程：

和。

4． 理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。

5． 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6． 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

7． 会用微分方程解决一些简单的应用问题。

考试内容

常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，微分方程的简单应用

考试要求

1..了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。

3会用降阶法解下列形式的微分方程：

和。

4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。

5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

7.会用微分方程解决一些简单的应用问题。

无变化